Additionsregeln in Wahrscheinlichkeit und Statistik

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Die Additionsregeln in Wahrscheinlichkeit und Statistik beziehen sich auf die verschiedenen Arten, wie wir bekannte Wahrscheinlichkeiten von zwei oder mehr verschiedenen Ereignissen kombinieren können, um die Wahrscheinlichkeit neuer Ereignisse zu bestimmen, die durch die Vereinigung dieser Ereignisse gebildet werden .

In der Statistik und Wahrscheinlichkeit kennen wir oft die Wahrscheinlichkeit, dass bestimmte Ereignisse (z. B. Ereignis A und B) separat eintreten, aber nicht die Wahrscheinlichkeit, dass sie gleichzeitig eintreten oder dass das eine oder andere eintritt. Hier kommen die Additionsregeln ins Spiel.

Zum Beispiel: Wir können die Wahrscheinlichkeit kennen, beim Würfeln mit zwei Würfeln eine Sechs zu würfeln, nennen wir es P (würfelnde 6), und die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel auf geraden Zahlen landen, nennen wir es P (gerade Zahlen).

Dies ist relativ einfach. Aber manchmal interessiert uns auch die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln zweier Würfel beide eine gerade Zahl ergeben oder dass die Summe sechs ergibt. In der statistischen Notation und in der Gruppentheorie wird dieses „oder“ mit dem Symbol U dargestellt, das die Vereinigung zweier Ereignisse angibt, und in diesem Fall würde diese Wahrscheinlichkeit wie folgt dargestellt:

unbekannt zu finden

Solche Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus den Einzelwahrscheinlichkeiten und einigen Zusatzdaten mit Hilfe der Additionsregeln berechnen.

Es ist zu beachten, dass es sowohl von der Anzahl der betrachteten Ereignisse als auch davon abhängt, ob sich diese Ereignisse gegenseitig ausschließen oder nicht, welche Additionsregel wir jeweils verwenden sollten. Die Additionsregeln für einige einfache Fälle sind unten beschrieben.

Fall 1: Additionsregel für disjunkte oder sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Zwei Ereignisse heißen sich gegenseitig ausschließend, wenn das Eintreten des einen die Möglichkeit des Eintretens des anderen ausschließt. Das heißt, es handelt sich um Ereignisse, die nicht gleichzeitig auftreten können. Zum Beispiel beim Werfen eines Würfels, bei dem das Ergebnis, bei dem 4 herauskommt, ausschließt, dass eines der anderen 5 möglichen Ergebnisse herausgekommen ist.

Wenn wir zwei oder mehr Ereignisse (A, B, C …) als sich gegenseitig ausschließend betrachten, besteht die Vereinigungswahrscheinlichkeit einfach aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse. Das heißt, in diesem Fall ist die Vereinigungswahrscheinlichkeit gegeben durch:

Additionsregel für disjunkte oder sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Dies lässt sich am einfachsten anhand eines Venn-Diagramms nachvollziehen. Hier wird der Probenraum durch eine rechteckige Fläche dargestellt; während die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses durch Sektoren innerhalb dieses größeren Bereichs dargestellt wird. In einem Venn-Diagramm werden sich gegenseitig ausschließende Ereignisse als getrennte Bereiche angesehen, die sich weder berühren noch überlappen.

Additionsregel für disjunkte oder sich gegenseitig ausschließende Ereignisse Venn-Diagramm

Bei dieser Art von Diagrammen besteht die Berechnung der Vereinigungswahrscheinlichkeit darin, die Gesamtfläche zu erhalten, die von allen Ereignissen eingenommen wird, deren Wahrscheinlichkeiten wir berücksichtigen. Im Fall des vorherigen Bildes bedeutet dies, die Gesamtfläche der Sektoren A, B und C zu erhalten, dh die blaue Fläche in der folgenden Abbildung.

Vereinigungswahrscheinlichkeit

Es ist leicht zu erkennen, dass die Vereinigungswahrscheinlichkeit einfach die Summe der drei Bereiche ist, wenn die Ereignisse disjunkt sind, wie im Fall der beiden obigen Bilder.

Beispiel 1: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln ein gerades Ergebnis zu erzielen

Angenommen, wir würfeln und möchten die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl ermitteln. Da die einzig möglichen geraden Zahlen auf einem 6-seitigen Würfel 2, 4 und 6 sind, wollen wir wirklich wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass der Würfel auf 2, 4 oder 6 fällt, da dies in beiden Fällen der Fall wäre sind in eine gerade Zahl gefallen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen der 6 Köpfe zu bekommen, ist 1/6 (solange es ein fairer Würfel ist). Außerdem sind, wie wir gerade gesehen haben, die drei Ergebnisse sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, denn wenn 2 gewürfelt wurden, hätten 4 oder 6 nicht gewürfelt werden können, und so weiter. Unter diesen Bedingungen ist die Vereinigungswahrscheinlichkeit gegeben durch:

Beispiel für die Vereinigungswahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse Beispiel für die Vereinigungswahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse

Fall 2: Additionsregel für zwei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Wenn A und B Ereignisse sind, die gemeinsame Ergebnisse haben, d. h. sie können zur gleichen Zeit eintreten, dann schließen sich die Ereignisse nicht gegenseitig aus. In diesem Fall sieht das Venn-Diagramm so aus:

Additionsregel für zwei sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse Venn-Diagramm

Wie zu sehen ist, gibt es einen Bereich des Probenraums, in dem beide Ereignisse gleichzeitig auftreten. Wenn wir die Vereinigungswahrscheinlichkeit, also P(AUB), bestimmen wollen, müssen wir die Fläche finden, die im Venn-Diagramm rechts in der vorherigen Abbildung angegeben ist.

Es ist leicht zu erkennen, dass wir in diesem Fall, wenn wir nur die Bereiche von A und B addieren, den gemeinsamen Bereich zweimal zählen, sodass wir einen Bereich (read, Wahrscheinlichkeit) erhalten, der größer ist als wir wollen. Um diesen übermäßigen Fehler zu korrigieren, muss nur die von den Ereignissen A und B geteilte Fläche abgezogen werden, die der Schnittwahrscheinlichkeit entspricht:

Additionsregel für zwei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Dieser Ausdruck für die Vereinigungswahrscheinlichkeit gilt auch für den vorigen Fall, da die Wahrscheinlichkeit ihres gleichzeitigen Auftretens (die Schnittwahrscheinlichkeit) null ist, da sie sich gegenseitig ausschließen.

Beispiel 2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln ein gerades Ergebnis oder eine Zahl kleiner als 4 zu erhalten

In diesem Fall haben beide Ereignisse das Ergebnis 2 gemeinsam, das sowohl gerade als auch kleiner als 4 ist, sodass die Vereinigungswahrscheinlichkeit wie folgt lautet:

Additionsregel für zwei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Additionsregel für zwei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Fall 3: Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Ein weiterer etwas komplexerer Fall liegt vor, wenn 3 Ereignisse auftreten, die sich nicht gegenseitig ausschließen, wie z. B. das im folgenden Venn-Diagramm dargestellte:

Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

In diesem Fall zählt die Summe der drei Bereiche doppelt die Schnittzonen zwischen A und B, zwischen B und C und zwischen C und D, und zählt dreimal die Schnittzonen der drei Ereignisse A, B und C. Wenn wir das tun wie zuvor und die Schnittflächen zwischen jedem Ereignispaar von der Summe der drei Flächen subtrahieren, subtrahieren wir das Dreifache der Fläche des Zentrums, also muss es als Schnittwahrscheinlichkeit der drei Ereignisse addiert werden. Schließlich ist die allgemeine Additionsregel für drei nicht-exklusive Ereignisse gegeben durch:

Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Wie zuvor gilt dieser Ausdruck allgemein für jeden Satz von drei Ereignissen, unabhängig davon, ob sie disjunkt sind oder nicht, da in diesem Fall die Schnittpunkte leer sind und das Ergebnis derselbe Ausdruck des ersten Falls ist.

Beispiel 3: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, bei einem 20-seitigen Würfel eine gerade Zahl, eine Zahl kleiner als 10 oder eine Primzahl zu erhalten

In diesem Fall gibt es drei Ereignisse, die Ergebnisse teilen und auch Ergebnisse enthalten, die nicht geteilt werden, sodass die Vereinigungswahrscheinlichkeit durch den oben genannten Ausdruck gegeben ist.

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse sind:

Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Nun sind die Schnittwahrscheinlichkeiten:

Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Wenden Sie nun die Gleichung für die Vereinigungswahrscheinlichkeit an:

Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen Beispiel der Additionsregel für drei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen

Verweise